29. Mai 2016, 13:50 Uhr
Das Benzin wird knapp!
Die Trauminsel lässt sich mit dem Auto wunderbar auf der Rundstraße erkunden. Dummerweise herrscht aber gerade Benzinknappheit und Sie könnten plötzlich mit leerem Tank dastehen. Wie gelingt die Runde trotzdem?
Wiederholt haben sich Leser beklagt, unser Rätsel sei zu einfach. Deshalb wird die Aufgabe in dieser Woche etwas kniffliger. Aber selbst, wenn Sie überhaupt nicht wissen, wie Sie das Ganze lösen sollen, lohnt sich der Blick auf die Lösung. Denn diese ist, so viel kann hier schon verraten werden, überraschend einfach und auch leicht zu verstehen.
Worum geht es?
Auf einer kreisförmigen Insel ist das Benzin knapp. Sie wollen das Eiland mit dem Auto auf der Küstenstraße umrunden. An der Straße gibt es immer mal wieder eine Tankstelle. An jeder Tankstelle ist aber nur eine kleine Menge Benzin verfügbar. Wenn Sie die Benzinmengen aller Tankstellen zusammenrechnen, dann reicht der Kraftstoff genau dafür aus, die Insel einmal zu umrunden.
Zeigen Sie, dass Sie die Inselumrundung schaffen, wenn Sie mit leerem Tank an der richtigen Tankstelle starten.
Oder anders formuliert: Beweisen Sie, dass es in allen möglichen Konstellationen von Tankstellen, Benzinmengen und Abständen der Tankstellen untereinander stets eine Tankstelle gibt, von der Sie mit einem leeren Tank starten können und die Umrundung auf jeden Fall schaffen.
Hinweise: An der ersten Tankstelle tanken Sie vor dem Losfahren. Wir gehen außerdem davon aus, dass der Kraftstoffverbrauch Ihres Autos konstant ist.
Hier geht es direkt zur Lösung
Wie könnte man die Aufgabe beschreiben? Es darf Ihnen nicht passieren, dass der Tank leer ist, bevor Sie die nächste Tankstelle erreichen. Das Problem scheint kaum lösbar angesichts der vielen Unbekannten (Zahl und Abstände der Tankstellen, Verteilung des Benzins) - aber der Beweis ist viel einfacher als gedacht.Wir lösen das Problem mit einem Gedankenexperiment. Damit finden wir heraus, von welcher Tankstelle aus wir starten müssen, wenn wir die konkrete Konstellation kennen würden, also Zahl der Tankstellen, Abstände untereinander und Benzinmengen an den Stationen.
Stellen wir uns vor, das Auto hat zum Start an einer beliebigen Tankstelle bereits so viel Benzin im Tank, dass es damit die Umrundung schafft. Wir beginnen die Runde wie in der Aufgabe vorgegeben, tanken also trotzdem an allen Tankstellen, auch an der ersten.
Dann beobachten wir den Füllstand des Tanks während der Rundfahrt. Er sinkt linear, doch an jeder Tankstelle springt die Linie senkrecht ein Stück nach oben, weil wir dort ja tanken. Das folgende Diagramm zeigt den Füllstand exemplarisch bei einer Rundfahrt. Ganz am Ende ist wieder exakt genauso viel Benzin im Tank wie vorm Tanken an der ersten Tankstelle, denn das getankte Benzin entspricht ja exakt dem verbrauchten Benzin.
Jetzt suchen wir die Tankstelle, bei der der Füllstand vor dem Tanken am niedrigsten ist. Das ist der Ort, an dem wir unsere Rundfahrt beginnen. Denn wir wissen ja, dass die Tankfüllung auf der sich anschließenden Rundreise niemals unter den Wert fällt, den wir an dieser Tankstelle (vor dem erstmaligen Tanken) hatten. Damit ist die Aufgabe gelöst!
Das Tankproblem stammt übrigens aus dem Buch "Combinatorial Problems and Exercises" des ungarischen Mathematikers László Lovász. Entdeckt habe ich es in einer Rätselsammlung von Peter Winkler.
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